Aristote ne fait pas systématiquement dériver les méthodes scientifiques des propriétés générales de la science, qui sont l’exactitude, l’universalité, la causalité ; pourtant ce qu’il dit au sujet des méthodes s’accorde avec ces propriétés. Mises à part les différences dues à l’objet ou au but des diverses sciences, Aristote distingue avant tout deux processus opposés : l’un qui va du particulier au général, l’autre du général au particulier. Le premier, c’est l’induction, le second, la démonstration ; l’induction conduit à l’universel, tandis que la démonstration découvre les causes. Aristote parle encore de l’analyse des phénomènes, tout en soupçonnant le rapport de celle-ci aux deux premières méthodes et le caractère synthétique de la science en général. Enfin, il mentionne la méthode génétique, qui étudie les phénomènes dès leur début.

Le passage de l’invention à la preuve, c’est le passage du raisonnement analogique qui pose une hypothèse arbitraire, au raisonnement inductif qui donne à cette hypothèse une certaine probabilité ou au raisonnement déductif qui la démontre avec une entière certitude. Ce passage suppose des raisonnements analogiques qui correspondent à l’invention de la preuve.

Kant, sans connaître les textes originaux, reproche à Platon nombre d’infractions au criticisme. La synthèse de sensibilité et d’intelligence dans la théorie de l’expérience, l’échelle des valeurs, les concepts de cause naturelle et de cause libre, la séparation entre âme et corps anticipent l’unité synthétique de l’aperception, le jugement synthétique a priori, l’amphibolie des concepts de réflexion, la topique transcendentale de la doctrine des antinomies. Anticipation du libre arbitre en morale, du génie et du plaisir désintéressé en esthétique.

Avec le développement chez Platon d’une conception de l’être commme système de relations hiérarchisées, se développe aussi la méthode de classification, propre à la fois à représenter les essences et à exercer l’esprit à en définir le contenu. La classification des sciences dans le Philèbe est significative : un savoir, ou proprement scientifique ou technique, est d’autant plus élevé qu’il met en oeuvre une représentation plus rigoureuse du contenu des essences.

L’intelligence conçoit un objet et l’étudie ; cela nous donne deux sciences. Quand elle étudie le présent de cet objet nous pouvons appeler cette connaissance simplement, « science » ; quand c’est le passé de cet objet, nous avons une science historique.Nous appelons les vérités immuables de la science, des « immédiats ». Comme ces « immédiats » sont des connaissances du présent, peuvent-ils s’appliquer à la science historique ?Cet essai montrera que c’est le même immédiat qui sert de principe d’invention et de certitude dans les sciences historiques.

L’opposition platonicienne de la Science et du Mythe, l’opposition cartésienne de la raison et de l’imagination se retrouvent dans l’effort de la physique contemporaine pour éliminer les images adventices, bien qu’aujour- d’hui comme naguère, images et mythes offrent, avec un secours pour l’invention, le seul moyen de présenter au profane une approximation concrète, d’ailleurs nécessairement inadéquate, des théories scientifiques.

La méthode de Meyerson est une méthode logique ; appliquée d’une façon différente soit à l’étude de la pensée qui se dirige vers l’élaboration de la science, soit à son exercice spontané. Cette méthode logique comporte des conclusions qui empêchent la connaissance d’atteindre le réel dans son intégrité. Il s’en suit l’impossibilité d’arriver à une unification complète de ce réel même.. Une vraie métaphysique manque à Meyerson. 11 est nécessaire, pour y parvenir, de dépasser les présupposés phénoménistes de Meyerson, et d’atteindre l’être. On parvient ainsi à compléter la valeur de son effort remarquable.

Toute opération mathématique vraiment bien définie est réversible. Cas des fonctions multiformes. Notion d’origine d’une grandeur. La classe des nombres définis par leur valeur et leur origine. Le concept de passage à la limite. Opération du passage à la limite. Opération du retour de la limite. Distinction entre une grandeur non existante et une grandeur annihilée par un passage à la limite.

Chaque science fondée sur des idées générales doit être relative. Il y a pourtant une science exacte qui n’est pas relative. C’est la sémantique rationnelle. Cette science concerne les expressions qu’on peut construire à l’aide de deux signes donnés d’avance. Elle n’admet que la notion de substitution, une notion élémentaire du type d’expression et les notions du calcul logique élémentaire. Elle nous met en état de construire un système de métamathé- matique symbolique qui embrasse les mathématiques entières. Elle nous fournit les moyens d’une critique objective des notions philosophiques.

L’extension de la logique aristotélicienne ne doit s’entendre ni par voie d’opposition, ni par voie de simple développement, mais plutôt par voie de différenciation progressive. On trouvera ainsi dans cette logique tant la défense des fondements essentiels de la connaissance que le germe des développements possibles de la logique et la justification des acquisitions positives de la logique moderne.

Devant l’intuitionisme, on conçoit un cours d’analyse amputé du nombre irrationnel. Des théorèmes qui semblent liés à l’arithmétisation du continu subsistent pourtant, dans le style finitiste, remplaçant le style totalitaire. Le trait d’union est le critère de convergence de Cauchy. Cette idée révèle des domaines de non-contradiction et favorise les efforts de coordination, par exemple pour les problèmes d’une infinité d’équations à une infinité d’inconnues.

On montre comment on peut établir la non-contradiction d’une discipline sans l’arithmétiser et l’on précise la relation, même en logique intui- tionniste, entre la non-contradiction, la compatibilité et l’indépendance d’un système de propositions. On analyse ainsi la démonstration classique de la non- contradiction de la géométrie lobatchefskienne. Et l’on indique que la vérité des propositions mathématiques est relative.Quant à la cohérence de la logique elle-même, il ne semble pas que l’on connaisse actuellement de moyen sûr de l’établir.

C’est la critique des fondements mathématiques du pythagorisme qui fait la portée essentielle des apories de Zenon. Elle montre quelles conceptions s’opposaient alors à l’utilisation du continu et pourquoi l’époque de Zénon est soumise au règne persistant de la discontinuité. On ne doit pas faire remonter à Zénon l’origine du calcul infinitésimal. Interprétation des principaux arguments.

La combinatoire est la base de la logique leibnizienne.Notre plan : le postulat fondamental, son corollaire, les objections.Postulat fondamental : toutes les idées humaines sont décomposables en notions simples ne possédant aucun élément commun.Corollaire : toutes les notions purement positives sont compatibles entre elles. Objections : 10 Leibniz méconnaît la négation ; — 2° Leibniz néglige la relation ; — 3° la compénétration de tous les concepts par la notion d’être empêche d’admettre l’existence d’idées simples ne possédant aucun élément commun.

Examen de la situation actuelle dans le problème du fondement des mathématiques : rejet forcé de la solution formaliste ; critique de la solution intuitionniste ; position d’immanence exigée par l’analyse du processus d’abstraction mathématique.

En créant la géométrie analytique, Descartes semblait vouloir enlever même à la géométrie tout ce qui lui restait de qualitatif et d’empirique* Par ce fait, pour les rationalistes, la géométrie analytique présentait un des triomphes de la « vérité indépendante de Vempirisme et de toute psychologie ».Mais, néanmoins, une fois inventée et construite, la géométrie analytique commençait une vie à soi, devenait une entité vivante qui dispose d’elle-même, donnant au nombre avec le lieu géométrique sa valeur qualitative, accessible à l’expérience des sens, ce qui est inversement un triomphe de l’empirisme sur le rationalisme.

La mathématique est conditionnée par un objet formel constructif. De même, la logique. L’objet formel est identique pour les deux disciplines. Il est de nature rameuse. L’auteur donne quelques indications sur la théorie des ramifications qu’il a instituée. Il termine en signalant que la logique des prédicats et la distributivité du produit logique ont pour objet véritable la variété multidimensionnelle discrète des mathématiciens, un objet dont la genèse rameuse est une pièce importante de sa théorie.

La géométrie est un système catégorique de propositions non contradictoires entre elles. Parmi tous les systèmes de cette sorte, elle est privilégiée par le fait ultérieur que ses objets et leurs relations mutuelles peuvent être réalisés au moyen d’entités mathématiques. Le problème se pose de savoir sous quelles conditions primitives un système non contradictoire et catégorique peut être considéré comme une géométrie. Dans cet ordre d’idées, l’auteur expose les raisons, de nature intuitive, qui permettent d’introduire des coordonnées dans un système donné.

Le progrès d’une science comme la physique détermine dans la logique un mouvement correspondant ; elle aussi est en devenir. Dans le monde atomique en particulier, les relations d’incertitude d’Heisenberg et l’existence de valeurs quantifiées conduisent à la construction d’une logique mieux adaptée à ce genre de recherches, logique trivalente (Vrai, Faux, Absurde), et de genre doux, c’est-à-dire dans laquelle les couples de propositions peuvent être soit composables, soit incomposables, par rapport à l’opération produit.

La logique traditionnelle, dite logique pure, est une logique des classifications, reposant sur le principe d’identité ; elle exclut les relations telles que les relations mathématiques, parce qu’elle se borne à l’unique catégorie de la substance. L’auteur distingue une logique pure, véritablement universelle, qui contient les principes de l’accord de la pensée avec elle-même, et une logique catégorique ou ontologique ayant pour but d’établir l’accord de la pensée réfléchie avec la réalité expérimentée ; cette logique contient autant de branches que de groupes de catégories, et l’on peut distinguer la logique mathématique, la logique des classifications, la logique des comportements (logique polyvalente de Reichenbach, logique potentielle de Pastore).